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Mis à jour le 25/04/2019

Appréhendez les Variables Aléatoires Continues (VAC)

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Différencier une VAC d'une VAD

Rappel

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, une variable aléatoire est dite continue ou à densité si elle prend ses valeurs dans un ensemble non dénombrable.

Exemple

Si une variable aléatoire est à valeur dans un ensemble $\(E\)$ , par exemple, dans le cas des ensembles $\(E \)$ suivants, elle est dite continue :

 $\(E = [a ; b]\)$ , $\(a \)$ et $\(b \)$ réels quelconques avec $\(b > a\)$

 $\(E = \mathbb{R}\)$

Dans ces deux cas de figure, il s'agit d'ensembles infinis et non dénombrables.

Tandis que, si notre variable aléatoire est à valeur, par exemple, dans l'un des ensembles $\(E \)$ suivants,  elle est qualifiée de discrète :

  $\(E = \left\{ \pi , \sqrt{2}, \frac{1}{2} \right\}\)$ 

Dans ce cas, il s'agit d'un ensemble fini, peu importe que les valeurs ne soient pas entières.

 $\(E = \mathbb{N}\)$

L'ensemble des entiers naturels est le parfait exemple d'un ensemble dénombrable infini.

Fonction de répartition

Nous avons vu, au chapitre précédent, la définition d'une fonction de répartition et ses propriétés caractéristiques.

Qu'y a-t-il de spécifique dans la fonction de répartition d'une VAC (par rapport à une VAD) ?

Soit $\(F_X \)$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire $\(X\)$ . On peut considérer $\( F_X \)$ comme la fonction de répartition d'une VAC si elle présente les deux propriétés suivantes :

Rappelons qu'une fonction est dite $\(C^1\)$ , sur $\(\mathbb{R}\)$ si elle est dérivable sur  $\(\mathbb{R}\)$ et que sa fonction dérivée est continue sur $\(\mathbb{R}\)$ .

Densité de probabilité

Si  $\(F_X\)$ est la fonction de répartition d'une VAC $\(X\)$ , alors les propriétés de $\(F_X\)$ nous permettent de définir une fonction $\(f_X\)$ telle que, pour tout $\(x\)$ réel, $\(f_X(x) = F'_X(x)\)$ .

Et nous avons, pour tout $\(x \)$ réel :

  $\(F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \int_{-\infty}^x{f_X(t)}dt\)$

Par ailleurs, pour tout couple de réels $\(a \)$ et $\(b \)$ tels que $\(b > a\)$ , nous aurons :

  $\(\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b{f_X(t)dt}\)$

Enfin, remarquons au passage que, pour tout réel $\( a\)$ :

 $\(\mathbb{P}(X=a) = \int_a^a{f_X(t)dt} = 0\)$

Cette dernière égalité signifie que la probabilité qu'une VAC $\(X \)$ prenne une valeur ponctuelle en particulier sera toujours nulle. Pour une VAC, il faut raisonner par tranche de valeurs.

Espérance d'une VAC

Définition de l'espérance

Par analogie avec les VAD, on définit l'espérance d'une VAC $\(X\)$ de densité $\(f_x\)$ , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  $\(\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}{xf_X(x)dx}\)$

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une espérance que lorsque cette intégrale généralisée converge.

Convergence d'une intégrale généralisée

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle $\([a , + \infty[ \)$ . Alors on dira que l'intégrale suivante est généralisée ou impropre en $\(+\infty\)$ :

  $\(\int_a^{+\infty}{f(x)}dx\)$

Par ailleurs, on dira que cette intégrale converge si la limite suivante est finie :

 $\(\lim\limits_{A \rightarrow {+\infty}} \int_a^A{f(x)}dx\)$

Avec $\(A \)$ , un réel dans $\( [a , + \infty[\)$ .

Variance d'une VAC

Toujours par analogie avec les VAD, on définit la variance d'une VAC $\(X \)$ de densité $\(f_X\)$ , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  $\(\mathbb{V}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}{(x-\mathbb{E}(X))^2f_X(x)dx}\)$

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une variance que lorsque l'intégrale généralisée suivante converge :

 $\(\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}{x^2f_X(x)dx}\)$

Tout comme pour les VAD, en pratique, il sera souvent préférable d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, sous réserve d'existence de $\(\mathbb{E}(X^2)\)$ :

$\(\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - (\mathbb{E}(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}{x^2f_X(x)dx} - (\int_{-\infty}^{+\infty}{xf_X(x)dx})^2\)$

Dans les exercices, on utilisera souvent cette relation pour le calcul, une fois que la question de l'existence de la variance sera élucidée.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite