Maîtrisez les bases des probabilités

Rappel

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, une variable aléatoire est dite continue ou à densité si elle prend ses valeurs dans un ensemble non dénombrable.

Exemple

Si une variable aléatoire est à valeur dans un ensemble E , par exemple, dans le cas des ensembles E suivants, elle est dite continue :

 E=[a;b] , a et b réels quelconques avec b>a

 E=R

Dans ces deux cas de figure, il s'agit d'ensembles infinis et non dénombrables.

Tandis que, si notre variable aléatoire est à valeur, par exemple, dans l'un des ensembles E suivants,  elle est qualifiée de discrète :

  E={π,√2,12} 

Dans ce cas, il s'agit d'un ensemble fini, peu importe que les valeurs ne soient pas entières.

 E=N

L'ensemble des entiers naturels est le parfait exemple d'un ensemble dénombrable infini.

Nous avons vu, au chapitre précédent, la définition d'une fonction de répartition et ses propriétés caractéristiques.

Soit FX la fonction de répartition d'une variable aléatoire X . On peut considérer FX comme la fonction de répartition d'une VAC si elle présente les deux propriétés suivantes :

Rappelons qu'une fonction est dite C1 , sur R si elle est dérivable sur  R et que sa fonction dérivée est continue sur R .

Si  FX est la fonction de répartition d'une VAC X , alors les propriétés de FX nous permettent de définir une fonction fX telle que, pour tout x réel, fX(x)=F′X(x) .

Et nous avons, pour tout x réel :

  FX(x)=P(X≤x)=∫x−∞fX(t)dt

Par ailleurs, pour tout couple de réels a et b tels que b>a , nous aurons :

  P(a≤X≤b)=FX(b)−FX(a)=∫bafX(t)dt

Enfin, remarquons au passage que, pour tout réel a :

 P(X=a)=∫aafX(t)dt=0

Cette dernière égalité signifie que la probabilité qu'une VAC X prenne une valeur ponctuelle en particulier sera toujours nulle. Pour une VAC, il faut raisonner par tranche de valeurs.

Définition de l'espérance

Par analogie avec les VAD, on définit l'espérance d'une VAC X de densité fx , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  E(X)=∫+∞−∞xfX(x)dx

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une espérance que lorsque cette intégrale généralisée converge.

Convergence d'une intégrale généralisée

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle [a,+∞[ . Alors on dira que l'intégrale suivante est généralisée ou impropre en +∞ :

  ∫+∞af(x)dx

Par ailleurs, on dira que cette intégrale converge si la limite suivante est finie :

 limA→+∞∫Aaf(x)dx

Avec A , un réel dans [a,+∞[ .

Toujours par analogie avec les VAD, on définit la variance d'une VAC X de densité fX , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  V(X)=∫+∞−∞(x−E(X))2fX(x)dx

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une variance que lorsque l'intégrale généralisée suivante converge :

  E(X2)=∫+∞−∞x2fX(x)dx

Tout comme pour les VAD, en pratique, il sera souvent préférable d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, sous réserve d'existence de E(X2) :

V(X)=E(X2)−(E(X))2=∫+∞−∞x2fX(x)dx−(∫+∞−∞xfX(x)dx)2

Dans les exercices, on utilisera souvent cette relation pour le calcul, une fois que la question de l'existence de la variance sera élucidée.