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Mis à jour le 25/04/2019

Découvrez les variables aléatoires

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Premières définitions

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Considérons une première définition toute simple : une variable aléatoire est une application, une fonction qui, à chaque résultat d'une expérience aléatoire, autrement dit à chaque élément de $\(\Omega\)$ , associe un nombre réel comme image.

Exemple

On lance deux dés et on considère la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience, associe comme image la somme des deux faces obtenues.

Ainsi, $\(X \)$ est une application qui, à chaque issue de l'expérience, autrement dit à chaque lancer, associe comme image un entier entre 2 et 12.

Qu'est-ce que le support d'une variable aléatoire ?

On appelle support d'une variable aléatoire l'ensemble des valeurs que cette variable aléatoire peut prendre. Pour une variable aléatoire $\(X \)$ , on note cet ensemble  $\(X(\Omega)\)$ .

Dans notre exemple, où on lance deux dés, nous aurons :

  $\(X(\Omega) = \left\{2, 3, 4, 5,6,7,8, 9, 10, 11, 12\right\}\)$

Si ce support est fini ou dénombrable, par exemple si l'ensemble image est inclus dans $\(\mathbb{N}\)$ , on qualifiera la variable aléatoire de discrète. On parlera d'une VAD (variable aléatoire discrète). 

Si ce support n'est pas dénombrable, par exemple si l'ensemble image est un intervalle de $\(\mathbb{R}\)$, on qualifiera la variable aléatoire de continue, ou bien on dira qu'elle est à densité. On pourra alors la qualifier de VAC (variable aléatoire continue).

Exemple

Reprenons l'exemple du dé. Disons que notre expérience aléatoire consiste à lancer un dé équilibré exactement trois fois. Ainsi, notre ensemble fondamental $\(\Omega\)$ serait constitué de triplets de nombres entiers entre 1 et 6 : 

  $\(\Omega = \left\{(4, 2, 3), (1, 2, 6), (3, 2, 3) , (4, 5,1), ... \right\}\)$

On peut définir une fonction qui, à chacun de ces résultats, associe un nombre réel comme image. Notons-la $\(X \)$ et disons que $\(X \)$ associe à chaque issue de notre expérience, autrement dit à chaque triplet de $\( \Omega\)$ , le nombre de faces paires obtenues.

Quel est le support de X dans cet exemple ?

Ainsi, pour  $\(\omega_0 = (1, 2, 3)\)$ , on aurait :

  $\(X(\omega_0 ) = 1\)$

De même, si on posait $\(\omega_1 = (1, 3, 3)\)$ , on aurait :

  $\(X(\omega_1 ) = 0\)$

Alors que $\(\omega_2 = (2, 6, 4)\)$ aurait pour image :

  $\(X(\omega_2 ) = 3\)$

Etc.

En réalité, à partir de la définition de $\(X\)$ , on peut aisément construire son support, ou l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. En l’occurrence, $\(X \)$ peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 3. En effet, on peut tout à fait obtenir un triplet composé exclusivement de nombres impairs. Par ailleurs, il ne peut y avoir au maximum que 3 nombres pairs parmi les 3 faces apparaissant lors des lancers.  Ainsi, dans cet exemple, le support de $\(X \)$ noté $\(X(\Omega)\)$ serait :

  $\(X(\Omega) = \left\{0, 1, 2, 3\right\} = {[\![0;3]\!]}\)$

Remarque

Étant donné deux entiers $\(m \)$ et $\(n\)$ , avec $\(n > m\)$ , l'ensemble des entiers de $\(m \)$ à $\(n \)$ s'écrit $\({[\![m;n]\!]}\)$ .

Pour aller plus loin...

Voici une deuxième définition, un peu plus précise, de ce que l'on appelle une variable aléatoire.

Reprenons notre espace probabilisable $\((\Omega, \mathscr{T})\)$  vu au chapitre précédent.

Pour qu'une application $\(X \)$ de $\( \Omega\)$ dans $\(\mathbb{R}\)$ puisse être considérée comme une variable aléatoire, il faut que, pour tout $\(x\)$ réel, l'ensemble $\(\left\{\omega \in \Omega, X(\omega) \leq x \right\}\)$ appartienne à $\(\mathscr{T}\)$ . Autrement dit, il faut que cet ensemble soit bien un événement.

Événements liés à une variable aléatoire

Notation

L'événement $\(\left\{\omega \in \Omega, X(\omega) = x \right\}\)$ sera bien plus simplement noté : $\((X=x)\)$ ou encore $\([X=x]\)$ .

Exemple

Si on reprend l'exemple de la section 1, l'événement "Obtenir aucune face paire" serait par exemple noté : $\([X=0]\)$ .

Tandis que l'événement "Obtenir deux faces paires" s'écrirait à l'aide de la variable aléatoire $\(X\)$ comme ceci : $\([X=2]\)$ .

Par ailleurs, on peut naturellement utiliser aussi des inégalités pour écrire des événements à l'aide d'une variable aléatoire. Dans notre exemple, l'événement "Obtenir au moins une face paire" s'écrirait : $\([X \geq 1]\)$ .

Exemple de certificat de réussite
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