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Mis à jour le 08/09/2022

Découvrez les variables aléatoires

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Premières définitions

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Considérons une première définition toute simple : une variable aléatoire est une application, une fonction qui, à chaque résultat d'une expérience aléatoire, autrement dit à chaque élément de Ω , associe un nombre réel comme image.

Exemple

On lance deux dés et on considère la variable aléatoire qui, à chaque issue de l'expérience, associe comme image la somme des deux faces obtenues.

Ainsi, X est une application qui, à chaque issue de l'expérience, autrement dit à chaque lancer, associe comme image un entier entre 2 et 12.

Qu'est-ce que le support d'une variable aléatoire ?

On appelle support d'une variable aléatoire l'ensemble des valeurs que cette variable aléatoire peut prendre. Pour une variable aléatoire X , on note cet ensemble  X(Ω) .

Dans notre exemple, où on lance deux dés, nous aurons :

  X(Ω)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

Si ce support est fini ou dénombrable, par exemple si l'ensemble image est inclus dans N , on qualifiera la variable aléatoire de discrète. On parlera d'une VAD (variable aléatoire discrète). 

Si ce support n'est pas dénombrable, par exemple si l'ensemble image est un intervalle de R, on qualifiera la variable aléatoire de continue, ou bien on dira qu'elle est à densité. On pourra alors la qualifier de VAC (variable aléatoire continue).

Exemple

Reprenons l'exemple du dé. Disons que notre expérience aléatoire consiste à lancer un dé équilibré exactement trois fois. Ainsi, notre ensemble fondamental Ω serait constitué de triplets de nombres entiers entre 1 et 6 : 

  Ω={(4,2,3),(1,2,6),(3,2,3),(4,5,1),...}

On peut définir une fonction qui, à chacun de ces résultats, associe un nombre réel comme image. Notons-la X et disons que X associe à chaque issue de notre expérience, autrement dit à chaque triplet de Ω , le nombre de faces paires obtenues.

Quel est le support de X dans cet exemple ?

Ainsi, pour  ω0=(1,2,3) , on aurait :

  X(ω0)=1

De même, si on posait ω1=(1,3,3) , on aurait :

  X(ω1)=0

Alors que ω2=(2,6,4) aurait pour image :

  X(ω2)=3

Etc.

En réalité, à partir de la définition de X , on peut aisément construire son support, ou l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. En l’occurrence, X peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 3. En effet, on peut tout à fait obtenir un triplet composé exclusivement de nombres impairs. Par ailleurs, il ne peut y avoir au maximum que 3 nombres pairs parmi les 3 faces apparaissant lors des lancers.  Ainsi, dans cet exemple, le support de X noté X(Ω) serait :

  X(Ω)={0,1,2,3}=[[0;3]]

Remarque

Étant donné deux entiers m et n , avec n>m , l'ensemble des entiers de m à n s'écrit [[m;n]] .

Pour aller plus loin...

Voici une deuxième définition, un peu plus précise, de ce que l'on appelle une variable aléatoire.

Reprenons notre espace probabilisable (Ω,T)  vu au chapitre précédent.

Pour qu'une application X de Ω dans R puisse être considérée comme une variable aléatoire, il faut que, pour tout x réel, l'ensemble {ωΩ,X(ω)x} appartienne à T . Autrement dit, il faut que cet ensemble soit bien un événement.

Événements liés à une variable aléatoire

Notation

L'événement {ωΩ,X(ω)=x} sera bien plus simplement noté : (X=x) ou encore [X=x] .

Exemple

Si on reprend l'exemple de la section 1, l'événement "Obtenir aucune face paire" serait par exemple noté : [X=0] .

Tandis que l'événement "Obtenir deux faces paires" s'écrirait à l'aide de la variable aléatoire X comme ceci : [X=2] .

Par ailleurs, on peut naturellement utiliser aussi des inégalités pour écrire des événements à l'aide d'une variable aléatoire. Dans notre exemple, l'événement "Obtenir au moins une face paire" s'écrirait : [X1] .

Exemple de certificat de réussite
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