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  • Moyenne

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Mis à jour le 05/09/2019

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Quels modèles pour nos exemples introductifs ?

  1. Dans le premier exemple, on est dans un modèle dit de Bernoulli : les variables aléatoires suivent la même loi $\(\mathcal{B}(p)\)$ , et ce de manière indépendante.

  2. Dans le second exemple, on va se placer sous hypothèse gaussienne : les variables aléatoires suivent toutes la même loi $\(\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right)\)$ , et ce de manière indépendante. Cette hypothèse gaussienne n’est pas anodine, mais on peut l’émettre a priori ici au vu de la forme de l’histogramme ci-dessous.

Le coin R : consommation d’essence

On importe le fichier contenant les consommations d’essence :

essence <- read.table("essence.txt",header=TRUE)

On calcule la moyenne, la variance et l’écart-type de l’échantillon :

xbar <- mean(essence$conso)
round(xbar,digits=2)
## [1] 31.45

sprime <- sd(essence$conso)
round(sprime,digits=2)
## [1] 2.16

sprime2 <- var(essence$conso)
round(sprime2,digits=2)
## [1] 4.66

Si on souhaite obtenir la variance “biaisée”, on peut l’obtenir ainsi :

n_essence <- dim(essence)[1]
v <- sprime2*(n_essence-1)/n_essence
round(v,digits=2)
## [1] 4.63

On peut visualiser l’histogramme :

hist(essence$conso,prob=TRUE,xlab="",ylab="",ylim=c(0, 0.25),main="Histogramme")

On peut visualiser sur cet histogramme la moyenne empirique :

hist(essence$conso,prob=TRUE,xlab="",ylab="",ylim=c(0, 0.25),main="Histogramme")
abline(v=xbar,col="blue",lwd=3)
legend("topright",legend=("Moyenne empirique"),col="blue",lty=1,lwd=3)

On peut visualiser sur cet histogramme la moyenne empirique et le seuil “métier” (le seuil métier est la valeur sur laquelle souhaite communiquer le constructeur : 31 litres au cent) :

mu0 <- 31

hist(essence$conso,prob=TRUE,xlab="",ylab="",ylim=c(0, 0.25),main="Histogramme")
abline(v=xbar,col="blue",lwd=3)
abline(v=mu0,col="red",lwd=3)
legend("topright",legend=c("Moyenne empirique","Seuil testé"),col=c("blue","red"),lty=1,lwd=3)

On peut enfin superposer sur cet histogramme la densité gaussienne :

hist(essence$conso,prob=TRUE,xlab="",ylab="",ylim=c(0, 0.25),main="Histogramme et densité normale")
curve(dnorm(x,mean=xbar,sd=sprime),col="red",lwd=2,add=TRUE,yaxt="n")

On constate que l’écart entre l’histogramme, primo-estimation de la densité de probabilité, et la densité gaussienne sont plutôt proches (car la courbe rouge et l'histogramme sont quasiment superposables).

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite