Initiez-vous à la statistique inférentielle

Le coin méthodologique

Supposons que nous ayons à disposition un échantillon i.i.d de loi N(μ,σ2), ou un grand échantillon i.i.d quelconque (en pratique de taille supérieure à 30).
On considère les tests suivants (c'est le test 3 qui est considéré dans le second exemple introductif) :

1. {H0:μ=μ0H1:μ>μ0

2. {H0:μ=μ0H1:μ<μ0

3. {H0:μ=μ0H1:μ≠μ0

On pourrait utiliser ¯X−μ0 (ou ¯X) comme statistique de test, malheureusement sa loi dépend du paramètre σ inconnu, c'est pourquoi on utilise :

On a sous H0 :

Les régions critiques au niveau α sont :

1.   W={T>tn−1,1−α}.

2.   W={T<−tn−1,1−α} .

3.   W={|T|>tn−1,1−α2}.

On constate bien ici que la forme de la région critique est donnée par l'hypothèse alternative H1.

Les p-valeurs sont :

1.  P(T(n−1)≥√n¯x−μ0s).

2.  P(T(n−1)≤√n¯x−μ0s).

3.  P(|T(n−1)|≥√n¯x−μ0s)=2P(T(n−1)≥√n¯x−μ0s).

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

On teste :

avec  μ0=31

Pour α=5 , on a :

•  tn−1,1−α2=t127,0.975≃1.97

•  |√n ¯x−μ0s′|≃|√128 31.45−312.16|≃2.35 .

On rejette H0 au niveau de test 5% car :

La p-valeur vaut :
 p-valeur=P(|T(n−1)|≥√n ¯x−μ0s)=2(1−P(T(n−1)≤√n ¯x−μ0s))≃2(1−P(T(127)≤2.35))≃0.02 .

On constate qu’on rejette bien l’hypothèse nulle au niveau de test 5% ( 0.02<0.05 ) mais pas au niveau de test 1% ( 0.02≥0.05 )

En pratique, le data analyst peut utiliser la commande  t.test  pour résoudre ce test :

alpha <- 0.05
t.test(essence$conso,mu=31,alternative="two.sided")

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: mean = 31
## 
## Alternative Hypothesis: True mean is not equal to 31
## 
## Test Name: One Sample t-test
## 
## Estimated Parameter(s): mean of x = 31.44945
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: t = 2.354358
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0.02008833
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 31.07169
## UCL = 31.82722

Supposons que nous ayons à disposition un échantillon i.i.d de loi N(μ,σ2), ou un grand échantillon i.i.d quelconque (en pratique de taille supérieure à 30).
On considère les tests suivants :

1. {H0:σ2=σ20H1:σ2>σ20

2. {H0:σ2=σ20H1:σ2<σ20

3. {H0:σ2=σ20H1:σ2≠σ20

On utilise comme statistique de test :

On a sous H0 :

  K∼χ2(n−1)

Les régions critiques au niveau α sont :

1.  W={K>χ2n−1,1−α} .

2.  W={K<χ2n−1,α} .

3.  W={K<χ2n−1,α2 ou K>χ2n−1,1−α2} .

De là on tire les p-valeurs...

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

Considérons par exemple le test suivant :

avec σ20=4.5 .

En pratique, le data analyst pourra de nouveau utiliser la commande  varTest  issue du package  EnvStats  pour obtenir cet intervalle de confiance :

library(EnvStats)
alpha <- 0.05
varTest(essence$conso,sigma.squared=4.5,alternative="greater")

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: variance = 4.5
## 
## Alternative Hypothesis: True variance is greater than 4.5
## 
## Test Name: Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s): variance = 4.66481
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: Chi-Squared = 131.6513
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0.3706697
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 3.839436
## UCL = Inf

On ne rejette donc pas l’hypothèse nulle au niveau de test 5%, la p-valeur vaut en effet environ 0.37 (elle n’est évidemment pas inférieure à 0.05).