Initiez-vous à la statistique inférentielle

Nous passons maintenant à la réponse à la troisième question, à laquelle nous répondons grâce aux tests statistiques.

Cas du taux de guérison

Le laboratoire cherche à savoir si la nouvelle composition du médicament présente un taux de guérison meilleur que le précédent. Il considère a priori que son efficacité est similaire au précédent médicament et ne prendra la responsabilité de proposer la nouvelle composition que si le nouveau taux de guérison s'avère être significativement supérieur à celui de l'ancien médicament $\$\backslash (p\_\{0\}=0.75\backslash )\$$.

Son a priori correspond à ce qu'on appellera l'hypothèse nulle, notée $\$\backslash (H\_\{0\}\backslash )\$$. Quant à l'autre hypothèse, l'alternative, notée $\$\backslash (H\_\{1\}\backslash )\$$, elle permet d'indiquer dans quel cas de figure on rejettera cet a priori.

On considère donc ici le test suivant :

$\$\backslash [\backslash begin\{cases\}\; H\_\{0\}=0.75\backslash \backslash \; H\_\{1\}>0.75\; \backslash end\{cases\}\backslash ]\$$

L'hypothèse $\$\backslash (p=p\_\{0\}\backslash )\$$ paraît intuitivement d'autant moins crédible que $\$\backslash (\backslash overline\; \{x\}\backslash )\$$, proportion de guérison, est plus forte. Quand $\$\backslash (\backslash overline\{x\}\backslash )\$$ sera jugé "suffisamment plus élevé" que $\$\backslash (p\_\{0\}\backslash )\$$ (significativement supérieur à $\$\backslash (p\_\{0\}\backslash )\$$), le laboratoire pourra rejeter l'hypothèse $\$\backslash (p=p\_\{0\}\backslash )\$$.

C'est le rejet de $\$\backslash (H\_0\backslash )\$$ qui, s'il est fait à mauvais escient, sera considéré comme le plus coûteux pour le laboratoire, car ayant des répercussions humaines et économiques néfastes : on parle de risque de première espèce.

En pratique on recherche la valeur $\$\backslash (c\backslash )\$$ ($\$\backslash (\backslash geq\; 0\backslash )\$$) telle qu'on rejettera l'hypothèse nulle si :

$\$\backslash [\backslash overline\{X\}>p\_\{0\}+c\backslash ]\$$

c'est-à-dire quand la proportion de guérison observée est "vraiment" supérieure à $\$\backslash (p\_\{0\}\backslash )\$$.

Pour fixer ce seuil $\$\backslash (c\backslash )\$$ qui détermine la région de rejet, le data analyst doit demander au laboratoire de fixer une borne supérieure à la probabilité qu'il juge tolérable pour ce rejet à mauvais escient : le niveau de test.

Ensuite, sous cette contrainte, on cherchera à choisir $\$\backslash (c\backslash )\$$ de manière à minimiser la probabilité de non-rejet de $\$\backslash (H\_0\backslash )\$$ à mauvais escient : le risque de seconde espèce.

Cas de la consommation d'essence

Le fabricant de cars souhaite communiquer sur une consommation moyenne (théorique) d'essence égale à $\$\backslash (\backslash mu\_0=31\backslash )\$$ litres aux 100. Il ne souhaite pas sous-estimer ou sur-estimer cette valeur seuil.
De la même manière que précédemment, on considère le test :

$\$\backslash [\backslash begin\{cases\}\; H\_\{0\}:\backslash mu=\backslash mu\_\{0\}\backslash \backslash \; H\_\{1\}:\backslash mu\backslash ne\backslash mu\_\{0\}\; \backslash end\{cases\}\backslash ]\$$

Ce test est dit bilatère car il existe deux motifs de rejet de son hypothèse de travail.

L'hypothèse $\$\backslash (\backslash mu=\backslash mu\_\{0\}\backslash )\$$ paraît intuitivement d'autant moins crédible que $\$\backslash (\backslash overline\; \{x\}\backslash )\$$, consommation moyenne observée sur son échantillon, est jugé "suffisamment différente" de $\$\backslash (\backslash mu\_0\backslash )\$$ (significativement inférieure ou supérieure à $\$\backslash (\backslash mu\_0\backslash )\$$). C'est toujours ce rejet qui, s'il est fait à mauvais escient, sera considéré comme plus coûteux pour le constructeur...

On pratique on recherche la valeur $\$\backslash (c>0\backslash )\$$ telle qu'on rejette l'hypothèse nulle si :

$\$\backslash [\backslash left\backslash vert\backslash overline\{x\}-\backslash mu\_0\backslash right\backslash vert>c\backslash ]\$$

c'est-à-dire si la consommation d'essence moyenne observée est "vraiment différente" de $\$\backslash (\backslash mu\_0\backslash )\$$.

Pour fixer ce seuil $\$\backslash (c\backslash )\$$ qui détermine la région de rejet, le data analyst doit là-encore demander au constructeur de fixer une borne supérieure pour son risque de première espèce, celui de rejeter à tort son a priori.