Initiez-vous à la statistique inférentielle

Le coin méthodologique

Considérons un échantillon i.i.d de loi $\$\backslash (\backslash mathcal\{N\}\backslash left(\backslash mu,\backslash sigma^2\backslash right)\backslash )\$$, ou un grand échantillon i.i.d non gaussien (en pratique de taille supérieure à 30).

L'intervalle de confiance bilatère de niveau $\$\backslash (1-\backslash alpha\backslash )\$$ pour $\$\backslash (\backslash sigma^\{2\}\backslash )\$$ est alors :

$\$\backslash [\backslash left[\backslash frac\{\backslash left(\; n-1\backslash right)\; S^\{\backslash prime\; 2\}\}\{\backslash chi\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}\}\; ;\; \backslash frac\{\backslash left(\; n-1\backslash right)\; S^\{\backslash prime\; 2\}\}\{\backslash chi\_\{n-1,\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}\}\backslash right]\backslash ]\$$

où $\$\backslash (\backslash chi\_\{n-1,\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}\backslash )\$$ et $\$\backslash (\backslash chi\_\{n-1,1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}\backslash )\$$ désignent respectivement les quantiles d'ordres $\$\backslash (\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash )\$$ et $\$\backslash (1-\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash )\$$ de la loi $\$\backslash (\backslash chi^2(n-1)\backslash )\$$

Pour aller plus loin

Mathématiquement, pour établir l'intervalle de confiance, on se base sur le résultat probabiliste suivant :

$\$\backslash [\backslash left(\; n-1\backslash right)\; \backslash frac\{S^\{\backslash prime\; 2\}\}\{\backslash sigma^2\}\backslash sim\backslash chi^\{2\}(n-1)\backslash ]\$$

Ce résultat est vrai pour un échantillon i.i.d sous hypothèse normale, ou asymptotiquement vrai pour un grand échantillon i.i.d quelconque.

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

Si on souhaite encadrer la variance (théorique) de la consommation d’essence $\$\backslash (\backslash sigma^2\backslash )\$$ avec une probabilité de 95%, on obtient alors comme intervalle de confiance (  $\$\backslash (\backslash chi\_\{n-1,\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}=\backslash chi\_\{127,0.025\}^\{2\}\backslash simeq\; 97.7\backslash )\$$ ,  $\$\backslash (\backslash chi\_\{n-1,\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\}^\{2\}=\backslash chi\_\{127,0.975\}^\{2\}\backslash simeq\; 160.1\backslash )\$$ et  $\$\backslash (s^\{\backslash prime\; 2\}\backslash simeq\; 4.66\backslash )\$$ ) :

$\$\backslash [\backslash left[\backslash frac\{127\backslash times\; 4.66\}\{160.1\}\backslash \; ;\backslash \; \backslash frac\{127\backslash times\; 4.66\}\{97.7\}\backslash right]\backslash ]\$$

Si on lance “manuellement” les calculs au niveau de test 5% :

alpha <- 0.05
icinf <- (n_essence-1)*sprime2/qchisq(p=1-alpha/2,df=n_essence-1)
round(icinf,digits=2)
## [1] 3.7

icsup <- (n_essence-1)*sprime2/qchisq(p=alpha/2,df=n_essence-1)
round(icsup,digits=2)
## [1] 6.06

On obtient alors :

Remarquons encore ici que l’hypothèse gaussienne n’était pas obligatoire ici, en effet l’échantillon est de taille suffisamment importante (supérieure à 30).

En pratique, le data analyst pourra utiliser la commande  varTest  issue du package  EnvStats  pour obtenir cet intervalle de confiance :

$\$\backslash [\backslash left[3.70\backslash \; ;\backslash \; 6.06\backslash right]\backslash ]\$$

library(EnvStats)

## 
## Attaching package: 'EnvStats'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
## predict, predict.lm

## The following object is masked from 'package:base':
## 
## print.default

alpha <- 0.05
varTest(essence$conso,conf.level=1-alpha)

## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: variance = 1
## 
## Alternative Hypothesis: True variance is not equal to 1
## 
## Test Name: Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s): variance = 4.66481
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: Chi-Squared = 592.4309
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 3.700708
## UCL = 6.063869