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Mis à jour le 30/03/2020

Déterminez un intervalle de confiance sur une variance

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Le coin méthodologique

Considérons un échantillon i.i.d de loi N(μ,σ2), ou un grand échantillon i.i.d non gaussien (en pratique de taille supérieure à 30).

L'intervalle de confiance bilatère de niveau 1α pour σ2 est alors :

[(n1)S2χ2n1,1α2;(n1)S2χ2n1,α2]

χ2n1,α2 et χ2n1,1α2 désignent respectivement les quantiles d'ordres α2 et 1α2 de la loi χ2(n1)

Pour aller plus loin

Mathématiquement, pour établir l'intervalle de confiance, on se base sur le résultat probabiliste suivant :

(n1)S2σ2χ2(n1)

Ce résultat est vrai pour un échantillon i.i.d sous hypothèse normale, ou asymptotiquement vrai pour un grand échantillon i.i.d quelconque.

Le coin R : exemple de la consommation d'essence

Si on souhaite encadrer la variance (théorique) de la consommation d’essence σ2 avec une probabilité de 95%, on obtient alors comme intervalle de confiance (  χ2n1,α2=χ2127,0.02597.7χ2n1,α2=χ2127,0.975160.1 et  s24.66 ) :

[127×4.66160.1 ; 127×4.6697.7]

Si on lance “manuellement” les calculs au niveau de test 5% :

alpha <- 0.05
icinf <- (n_essence-1)*sprime2/qchisq(p=1-alpha/2,df=n_essence-1)
round(icinf,digits=2)
## [1] 3.7
icsup <- (n_essence-1)*sprime2/qchisq(p=alpha/2,df=n_essence-1)
round(icsup,digits=2)
## [1] 6.06

On obtient alors :

Remarquons encore ici que l’hypothèse gaussienne n’était pas obligatoire ici, en effet l’échantillon est de taille suffisamment importante (supérieure à 30).

En pratique, le data analyst pourra utiliser la commande  varTest  issue du package  EnvStats  pour obtenir cet intervalle de confiance :

[3.70 ; 6.06]

library(EnvStats)
## 
## Attaching package: 'EnvStats'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
## predict, predict.lm

## The following object is masked from 'package:base':
## 
## print.default
alpha <- 0.05
varTest(essence$conso,conf.level=1-alpha)
## 
## Results of Hypothesis Test
## --------------------------
## 
## Null Hypothesis: variance = 1
## 
## Alternative Hypothesis: True variance is not equal to 1
## 
## Test Name: Chi-Squared Test on Variance
## 
## Estimated Parameter(s): variance = 4.66481
## 
## Data: essence$conso
## 
## Test Statistic: Chi-Squared = 592.4309
## 
## Test Statistic Parameter: df = 127
## 
## P-value: 0
## 
## 95% Confidence Interval: LCL = 3.700708
## UCL = 6.063869

Exemple de certificat de réussite
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