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Mis à jour le 18/09/2024

Désaisonnalisez à l'aide des moyennes mobiles

Si la régression linéaire est une solution "acceptable", on trouve beaucoup plus couramment des méthodes basées sur ce qu'on nomme les moyennes mobiles.

Une définition

On utilise des filtres afin d'effectuer ces décompositions. De manière peu rigoureuse, un filtre est un "transformateur" d'un signal (temporel). On n'utilise ici que des filtres linéaires, et plus particulièrement les moyennes mobiles.

Une moyenne mobile $\(M\)$  est une combinaison linéaire d'instants passés et futurs de la série temporelle :

$\[MX_{t}=\theta_{-m_{1}}X_{t-m_{1}}+\ldots+\theta_{-1}X_{t-1}+\theta_0X_{t}+\theta_{1}X_{t+1}+\ldots+\theta_{m_{2}}X_{t+m_{2}}\ .\]$

où les coefficients $\(\theta_{-m_{1}},\ldots,\theta_{m_{2}}\)$  sont tous des réels.

Notons d'ores et déjà que le produit de deux moyennes mobiles $\(M_{1}\)$  et $\(M_{2}\)$  ( $\(M_{1}M_{2}=M_{1}\circ M_{2}\)$ ) est commutatif, associatif et distributif par rapport à l'addition. Cette propriété nous indique notamment que si l'on doit appliquer plusieurs moyennes mobiles sur une série temporelle, l'ordre d'application est indifférent.

Un peu de terminologie

ll existe de nombreuses moyennes mobiles et il nous faudra les caractériser, comprendre leurs propriétés.
Dans la littérature, on trouve (et manipule) des moyennes mobiles qui peuvent être :

  • normalisées (il s'agit alors d'une moyenne au sens où on l'entend habituellement) si : 

    $\[\sum_{i=-m_{1}}^{m_{2}}\theta_{i}=1\ ,\]$

  • centrées (on prend en compte autant d'instants passés que futurs) si $\(m_{1}=m_{2}=m\ .\)$

  • symétriques (on donne des poids similaires aux instants passés et futurs de même ordre) si  $\(\forall i\in\left\{1,\ldots,m\right\} :\theta_{-i}=\theta_{i}\ .\)$ 

On désigne par :

$\[\Theta\left( z\right)=\sum_{i=0}^{m_{1}+m_{2}}\theta_{i-m_{1}}z^{i}\]$

le polynôme caractéristique de la moyenne mobile (comme son nom l'indique, il permet de caractériser ses propriétés).

Deux moyennes mobiles classiques

Voici deux des moyennes mobiles les plus employées (on reviendra sur les motivations plus tard).

  • Pour p=2m+1 , on définit la moyenne mobile simple (arithmétique) : $\(M_pX_{t}=\frac{1}{p}\left( X_{t-m}+\ldots+X_{t-1}+X_{t}+X_{t+1}+\ldots+X_{t+m}\right)\ \)$  C'est une moyenne mobile symétrique et normalisée.

  • Pour p=2m , on définit la moyenne mobile centrée (souvent on la nomme également, abusivement, moyenne mobile simple) :

    $\[M_{(2\times) p}X_{t}=\frac{1}{p}\left( X_{t-m+\frac{1}{2}}+\ldots+X_{t-\frac{1}{2}}+X_{t+\frac{1}{2}}+\ldots+X_{t+m-\frac{1}{2}}\right) \]$

    où  $\(X_{t-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left( X_{t-1}+X_{t}\right)\ .\)$ 

    On peut réécrire :

    $\[M_{(2\times) p}X_{t}=\frac{1}{2p}\left( X_{t-m}+2X_{t-m+1}+\ldots+2X_{t}+\ldots+2X_{t+m-1}+X_{t+m}\right)\ .\]$

    C'est une moyenne mobile centrée et normalisée.

Utiliser des moyennes mobiles pour corriger des variations saisonnières

L'idée consiste à appliquer une ou plusieurs moyennes mobiles afin de mettre en évidence, estimer, les différentes composantes d'une série temporelle.
Supposons que :

$\[X_{t}=T_{t}+S_{t}+\varepsilon_{t}\]$

Si on applique une moyenne mobile $\(M\)$  sur la série, nous obtenons (grâce à la propriété d'associativité) :

$\[MX_{t}=MT_{t}+MS_{t}+M\varepsilon_{t}\ .\]$

La visualisation de la série nous permet d'émettre des hypothèses sur la tendance (linéaire, quadratique, etc.) et la saisonnalité (période, forme, etc.).

L'enjeu est de trouver une moyenne mobile qui laisse la tendance invariante, qui absorbe la saisonnalité et qui réduit le résidu :

  • $\(MT_{t}=T_{t}\ ,\)$

  • $\(MS_{t}=0\ ,\)$

  •  $\(M\varepsilon_{t}\)$  "faible" (pouvoir de réduction de variance).

Dans ces conditions $\(MX_{t}\)$  constitue une estimation de la tendance. La saisonnalité peut ensuite être estimée en travaillant sur la différence entre la série et la tendance ainsi estimée.

Evaluer les propriétés d'une moyenne mobile

On constate donc qu'il nous faut connaitre les propriétés des moyennes mobiles afin de savoir quelles séries elles peuvent laisser invariantes ou absorber.

Séries temporelles absorbées et invariantes

  • Une série temporelle $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est absorbée (ou annulée) par $\(M\)$  si :

    $\[\forall t\in\mathbb{Z}:MX_{t}=0\ .\]$

  • Une série temporelle $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$ est invariante par M si :

    $\[\forall t\in\mathbb{Z}:MX_{t}=X_{t}\ .\]$

    Notons qu'une série temporelle invariante par $\(M\)$ est absorbée par $\(I-M,\)$ où $\(I\)$ est l'opérateur identité.

L'étude des propriétés des moyennes mobiles repose sur le polynôme caractéristique, on est alors amenés à résoudre une équation de récurrence linéaire.

Il existe de nombreux résultats sur les propriétés, citons notamment :

  • $\(M\)$  absorbe une composante saisonnière de période $\(s\)$  s'annulant sur une période si et seulement si $\(\Theta\left( z\right)\)$  est divisible par  $\(1+z+\ldots+z^{s-1}\ .\)$ 

  • Les constantes sont invariantes par $\(M\)$  si et seulement si $\(M\)$  est normalisée.

Revenons à nos deux moyennes mobiles phares :

  • $\(M_p\)$  absorbe les saisonnalités de période $\(p=2m+1\)$  et laisse invariantes les tendances linéaires.

  •  $\(M_{(2\times) p}\)$  absorbe les saisonnalités de période $\(p=2m\)$  et laisse invariantes les tendances linéaires.

Cela pourra donc s'avérer fort utile...

Pouvoir de réduction de variance

Une dernière propriété est souvent attendue, celle de réduction de la variance. L'idée est que l'application d'une moyenne mobile sur une série temporelle puisse réduire sa variance, le lisser.

Mathématiquement, ce pouvoir se quantifie en étudiant le rapport de variances entre un bruit blanc fort $\(\left(\varepsilon_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$ , c'est-à-dire une suite de variables aléatoires i.i.d, en entrée, et sa résultante en sortie de la moyenne mobile $\(M\)$  :

$\[\frac{\operatorname{Var}\left( M\varepsilon_{t}\right)}{\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{t}\right)}=\sum_{i=-m_{1}}^{m_{2}}\theta_{i}^{2}\ .\]$

Exemple de certificat de réussite
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