Analysez et modélisez des séries temporelles

Les méthodes de lissage exponentiel, basées sur les travaux de Holt et Winters, ne font plus l'objet de recherches. Si elles peuvent apparaître "faibles" théoriquement, elles sont faciles à mettre en œuvre, d'où leur utilisation populaire dans le passé. Leur objectif est de prévoir à la date T une série temporelle à un horizon $\$\backslash (\backslash ell\backslash )\$$ à partir de T observations $\$\backslash (\backslash left(\; X\_\{1\},\backslash ldots,X\_\{T\}\backslash right).\backslash )\$$

Méthode

Le lissage exponentiel simple (LES) consiste à supposer que $\$\backslash (X\_\{t\}\backslash )\$$ est approximable autour de T par une constante $\$\backslash (a\_\{T\}\backslash )\$$ .
Soit $\$\backslash (\backslash widehat\{X\}\_\{t\}(\backslash ell)\backslash )\$$ la prévision de $\$\backslash (X\_\{T+\backslash ell\}\backslash )\$$ à l'instant T.
La prévision par la méthode du LES est la suivante :

$\$\backslash [\{\backslash forall\; \backslash ell\backslash in\backslash mathbb\{N\}^\{\backslash ast\}:\backslash widehat\{X\}\_\{T\}(\backslash ell)=\backslash widehat\{X\}\_\{T\}(1)=\backslash widehat\{X\}\_\{T+1\}=\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\backslash sum\_\{t=0\}^\{T-1\}\backslash alpha^\{t\}X\_\{T-t\}\}\backslash ]\$$

où $\$\backslash (\backslash alpha\backslash in\backslash left]\; 0,1\backslash right[\backslash )\$$ désigne le coefficient de lissage.
On peut remarquer que :

• Les réalisations ont d'autant plus de poids qu'elles sont récentes (en effet le poids $\$\backslash (\backslash alpha^t\backslash )\$$ devant $\$\backslash (X\_\{T-t\}\backslash )\$$ décroît avec t).

La prévision ne dépend pas de l'horizon $\$\backslash (\backslash ell\backslash )\$$ , ce qui peut laisser pantois en l'état.

Formule de mise à jour

Il n'est pas obligatoire de recalculer entièrement la prévision à chaque instant.\\
On a en effet :
 

$\$\backslash [\backslash widehat\{X\}\_\{T+1\}=\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\; X\_\{T\}+\backslash alpha\backslash widehat\{X\}\_\{T\}\backslash \backslash ]\$$

D'où :

$\$\backslash [\backslash widehat\{X\}\_\{T+1\}=\backslash widehat\{X\}\_\{T\}+\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\backslash left(\; X\_\{T\}-\backslash widehat\{X\}\_\{T\}\backslash right)\backslash ]\$$

On peut ainsi calculer la lissée $\$\backslash (\backslash widehat\{X\}\_\{t\}\backslash )\$$ à n'importe quel instant t en fonction de celle à l'instant t-1.

Choix du coefficient de lissage
On utilise un algorithme d'optimisation afin de minimiser la quantité suivante :

$\$\backslash [\backslash sum\_\{t=1\}^\{T-1\}\backslash left(\; X\_\{t+1\}-\backslash widehat\{X\}\_\{t+1\}\backslash right)\; ^\{2\}=\backslash sum\_\{t=1\}^\{T-1\}\backslash left(\; X\_\{t+1\}-\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\backslash sum\_\{i=0\}^\{t-1\}\backslash alpha^\{i\}X\_\{t-i\}\backslash right)\; ^\{2\}\backslash \backslash ]\$$

Cette quantité est la somme des écarts quadratiques entre les réalisations et les prévisions de la série temporelle.