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Mis à jour le 20/08/2018

Appréhendez le lissage exponentiel simple

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Les méthodes de lissage exponentiel, basées sur les travaux de Holt et Winters, ne font plus l'objet de recherches. Si elles peuvent apparaître "faibles" théoriquement, elles sont faciles à mettre en œuvre, d'où leur utilisation populaire dans le passé. Leur objectif est de prévoir à la date T une série temporelle à un horizon $\(\ell\)$ à partir de T observations $\(\left( X_{1},\ldots,X_{T}\right).\)$

Méthode

Le lissage exponentiel simple (LES) consiste à supposer que $\(X_{t}\)$ est approximable autour de T par une constante $\(a_{T}\)$ .
Soit $\(\widehat{X}_{t}(\ell)\)$ la prévision de $\(X_{T+\ell}\)$ à l'instant T.
La prévision par la méthode du LES est la suivante :

$\[{\forall \ell\in\mathbb{N}^{\ast}:\widehat{X}_{T}(\ell)=\widehat{X}_{T}(1)=\widehat{X}_{T+1}=\left( 1-\alpha\right)\sum_{t=0}^{T-1}\alpha^{t}X_{T-t}}\]$

$\(\alpha\in\left] 0,1\right[\)$ désigne le coefficient de lissage.
On peut remarquer que :

  • Les réalisations ont d'autant plus de poids qu'elles sont récentes (en effet le poids $\(\alpha^t\)$ devant $\(X_{T-t}\)$ décroît avec t).

La prévision ne dépend pas de l'horizon $\(\ell\)$ , ce qui peut laisser pantois en l'état.

Formule de mise à jour

Il n'est pas obligatoire de recalculer entièrement la prévision à chaque instant.\\
On a en effet :
 

$\[\widehat{X}_{T+1}=\left( 1-\alpha\right) X_{T}+\alpha\widehat{X}_{T}\\]$

D'où :

$\[\widehat{X}_{T+1}=\widehat{X}_{T}+\left( 1-\alpha\right)\left( X_{T}-\widehat{X}_{T}\right)\]$

On peut ainsi calculer la lissée $\(\widehat{X}_{t}\)$ à n'importe quel instant t en fonction de celle à l'instant t-1.

Choix du coefficient de lissage
On utilise un algorithme d'optimisation afin de minimiser la quantité suivante :

$\[\sum_{t=1}^{T-1}\left( X_{t+1}-\widehat{X}_{t+1}\right) ^{2}=\sum_{t=1}^{T-1}\left( X_{t+1}-\left( 1-\alpha\right)\sum_{i=0}^{t-1}\alpha^{i}X_{t-i}\right) ^{2}\\]$

Cette quantité est la somme des écarts quadratiques entre les réalisations et les prévisions de la série temporelle.

Exemple de certificat de réussite
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