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Mis à jour le 28/07/2020

Les processus non stationnaires : ARIMA et SARIMA

Les processus ARIMA

On dit qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{N}}\)$  est un processus ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) d'ordre $\(\left( p,d,q\right)\)$ , noté $\(\operatorname{ARIMA}\left( p,d,q\right)\)$ , si :

$\(\Phi\left( B\right)\nabla^{d}X_{t}=\Theta\left( B\right)\varepsilon_{t}\)$
où :

  • $\(\nabla^{d}=\left( I-B\right) ^{d}\)$ ,

  • $\(\Phi\left( B\right)=I-\varphi_{1}B-\ldots-\varphi_pB^{p}\)$ où $\(\left(\varphi_{1},\ldots,\varphi_p\right)\in\mathbb{R}^{p}\)$  et  $\(\varphi_p\neq 0\)$,

  • $\(\Theta\left( B\right)=I+\theta_{1}B+\ldots+\theta_{q}B^{q}\)$ où et $\(\theta_{q}\neq 0\)$ . 

Notons que :

  • Les modèles ARIMA permettent de modéliser des séries temporelles qui présentent une tendance polynomiale.

  •  $\(\left( I-B\right) ^{d}X_{t}\)$ est équivalent asymptotiquement à un processus $\(\operatorname{ARMA}(p,q)\)$ .

  • Le processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{N}}\)$  n'est pas stationnaire.

Les processus SARIMA

On dit qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{N}}\)$  est un processus SARIMA (Seasonnal AutoRegressive Integrated Moving Average) d'ordre $\(\left( p,d,q\right)\left( P,D,Q\right)_{s}\)$ , noté $\(\operatorname{SARIMA}\left( p,d,q\right)\left( P,D,Q\right)_{s}\)$  si :

$\[\Phi\left( B\right)\Phi^{\prime}\left( B^{s}\right)\nabla^{d}\nabla_{s}^{D}X_{t}=\Theta\left( B\right)\Theta^{\prime}\left( B^{s}\right)\varepsilon_{t}\]$

où :

  • $\(\nabla^{d}=\left( I-B\right)^{d}\)$ ,

  •  $\(\nabla_{s}^{D}=\left( I-B^{s}\right)^{D}\)$ ,

  • $\(\Phi\left( B\right)=I-\varphi_{1}B-\ldots -\varphi_{p}B^{p}\)$ où $\(\left(\varphi_{1},\ldots,\varphi_{p}\right)\in\mathbb{R}^{p}\)$ et $\(\varphi_{p}\neq 0\)$ ,

  •  $\(\Phi^{\prime}\left( B\right)=I-\varphi_{1}^{\prime}B-\ldots -\varphi_{P}^{\prime}B^{P}\)$ où $\(\left(\varphi_{1}^{\prime},\ldots,\varphi_{^{\prime}P}\right)\in\mathbb{R}^{P}\)$ et $\(\varphi_{P}^{\prime}\neq 0\)$ ,

  •  $\(\Theta\left( B\right)=I+\theta_{1}B+\ldots +\theta_{q}B^{q}\)$  où $\(\left(\theta_{1},\ldots,\theta_{q}\right)\in\mathbb{R}^{q}\)$ et $\(\theta_{q}\neq 0\)$ ,

  •  $\(\Theta^{\prime}\left( B\right)=I+\theta_{1}^{\prime}B+\ldots +\theta_{Q}^{\prime}B^{Q}\)$ où $\(\left(\theta_{1}^{\prime},\ldots,\theta_{Q}^{\prime}\right)\in\mathbb{R}^{Q}\)$ et $\(\theta_{Q}^{\prime}\neq 0\)$ .

Notons que :

  • Les modèles SARIMA permettent de modéliser des séries qui présentent une saisonnalité.

  • Estimer un modèle SARIMA se ramène en pratique à l'estimation d'un modèle ARMA sur la série différenciée.

Exemple de certificat de réussite
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