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Mis à jour le 28/07/2020

Les processus non stationnaires : ARIMA et SARIMA

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Les processus ARIMA

On dit qu'un processus (Xt)tN  est un processus ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) d'ordre (p,d,q) , noté ARIMA(p,d,q) , si :

Φ(B)dXt=Θ(B)εt
où :

  • d=(IB)d ,

  • Φ(B)=Iφ1BφpBp où (φ1,,φp)Rp  et  φp0,

  • Θ(B)=I+θ1B++θqBq où et θq0

Notons que :

  • Les modèles ARIMA permettent de modéliser des séries temporelles qui présentent une tendance polynomiale.

  •  (IB)dXt est équivalent asymptotiquement à un processus ARMA(p,q) .

  • Le processus (Xt)tN  n'est pas stationnaire.

Les processus SARIMA

On dit qu'un processus (Xt)tN  est un processus SARIMA (Seasonnal AutoRegressive Integrated Moving Average) d'ordre (p,d,q)(P,D,Q)s , noté SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s  si :

Φ(B)Φ(Bs)dDsXt=Θ(B)Θ(Bs)εt

où :

  • d=(IB)d ,

  •  Ds=(IBs)D ,

  • Φ(B)=Iφ1BφpBp où (φ1,,φp)Rp et φp0 ,

  •  Φ(B)=Iφ1BφPBP(φ1,,φP)RP et φP0 ,

  •  Θ(B)=I+θ1B++θqBq  où (θ1,,θq)Rq et θq0 ,

  •  Θ(B)=I+θ1B++θQBQ où (θ1,,θQ)RQ et θQ0 .

Notons que :

  • Les modèles SARIMA permettent de modéliser des séries qui présentent une saisonnalité.

  • Estimer un modèle SARIMA se ramène en pratique à l'estimation d'un modèle ARMA sur la série différenciée.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite