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Mis à jour le 28/07/2020

Les processus AR, MA et ARMA

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Les processus AR

Sauf mention contraire, on considère dans la suite des processus centrés. Si le processus (Xt)tZ  n'est pas centré, on peut se ramener à ce cas de figure en centrant préalablement le processus (on travaillerait alors sur Yt=XtμX ).

Définition

On dit qu'un processus (Xt)tZ  (stationnaire) est un processus processus AR (AutoRegressive) d'ordre p , noté AR(p) , si :

tZ:Xt=pi=1φiXti+εt

(φ1,,φp)Rp  et φp0 .\\
La modélisation de Xt  se résume à une relation linéaire le liant aux p  derniers instants.

Caractérisation

Si (Xt)tZ  est un processus AR(p)  alors ses autocorrélations partielles s'annulent à partir du rang p+1  :

{r(p)0hN,hp+1:r(h)=0 .

Réciproquement, il s'agit d'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un processus (Xt)tZ  soit un AR(p).
Les autocorrélations simples, quant à elles, décroissent rapidement vers 0 (de manière exponentielle ou sinusoïdale amortie).

Les processus MA

Définition

On dit qu'un processus (Xt)tZ  est un processus MA (Moving Average) d'ordre q , noté MA(q) , si :

tZ:Xt=εt+qi=1θiεti

(θ1,,θq)Rq  et θq0 .
On considère ici que le processus est la résultante d'une combinaison linéaire de perturbations decorrélées (un bruit blanc et son passé).

Caractérisation

Si (Xt)tZ  est un processus MA(q)  alors ses autocorrélations simples s'annulent à partir du rang q+1  :

{ρ(q)0hN,hq+1:ρ(h)=0 .
Il s'agit d'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un processus (Xt)tZ  soit un MA(q) .

Les processus ARMA

Définition

Soit (εt)tZ  un bruit blanc faible de variance σ2 .

On dit qu'un processus (Xt)tZ  est un processus ARMA (AutoRegressive Moving Average) d'ordre (p,q)  , noté ARMA(p,q) , si :

  •  (Xt)tZ  est stationnaire},

  • tZ:Xt=pi=1φiXti+εt+qi=1θiεti où (φ1,,φp)Rp , φp0 , (θ1,,θq)Rq  et θq0 .

Il s'agit ici d'une "synthèse" des processus AR et MA.

Caractérisation

Les autocorrélations simples décroissent vers 0. Il n'existe pas malheureusement de caractérisation simple, on verra comment procéder en pratique plus tard.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite