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Mis à jour le 18/09/2024

Les processus AR, MA et ARMA

Les processus AR

Sauf mention contraire, on considère dans la suite des processus centrés. Si le processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  n'est pas centré, on peut se ramener à ce cas de figure en centrant préalablement le processus (on travaillerait alors sur $\(Y_{t}=X_{t}-\mu_{X}\)$ ).

Définition

On dit qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  (stationnaire) est un processus processus AR (AutoRegressive) d'ordre $\(p\)$ , noté $\(\operatorname{AR}(p)\)$ , si :

$\[\forall t\in\mathbb{Z}:X_{t}=\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{t-i}+\varepsilon_{t}\]$

où $\(\left(\varphi_{1},\ldots,\varphi_p\right)\in\mathbb{R}^{p}\)$  et $\(\varphi_p\neq 0\)$ .\\
La modélisation de $\(X_{t}\)$  se résume à une relation linéaire le liant aux $\(p\)$  derniers instants.

Caractérisation

Si $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est un processus $\(\operatorname{AR}(p)\)$  alors ses autocorrélations partielles s'annulent à partir du rang $\(p+1\)$  :

$\[\begin{cases} r(p)\neq 0\\ \forall h\in\mathbb{N},h\geq p+1:r(h)=0 \end{cases}\ .\]$

Réciproquement, il s'agit d'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  soit un $\(\operatorname{AR}(p)\)$.
Les autocorrélations simples, quant à elles, décroissent rapidement vers 0 (de manière exponentielle ou sinusoïdale amortie).

Les processus MA

Définition

On dit qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est un processus MA (Moving Average) d'ordre $\(q\)$ , noté $\(\operatorname{MA}(q)\)$ , si :

$\[\forall t\in\mathbb{Z}:X_{t}=\varepsilon_{t}+\sum_{i=1}^{q}\theta_{i}\varepsilon_{t-i}\]$

où $\(\left(\theta_{1},\ldots,\theta_{q}\right)\in\mathbb{R}^{q}\)$  et $\(\theta_{q}\neq 0\)$ .
On considère ici que le processus est la résultante d'une combinaison linéaire de perturbations decorrélées (un bruit blanc et son passé).

Caractérisation

Si $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est un processus $\(\operatorname{MA}(q)\)$  alors ses autocorrélations simples s'annulent à partir du rang $\(q+1\)$  :

$\(\begin{cases} \rho(q)\neq 0\\ \forall h\in\mathbb{N},h\geq q+1:\rho(h)=0 \end{cases} \ .\)$
Il s'agit d'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  soit un $\(\operatorname{MA}(q)\)$ .

Les processus ARMA

Définition

Soit $\(\left(\varepsilon_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  un bruit blanc faible de variance $\(\sigma^{2}\)$ .

On dit qu'un processus $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est un processus ARMA (AutoRegressive Moving Average) d'ordre $\((p,q)\)$  , noté $\(\operatorname{ARMA}(p,q)\)$ , si :

  •  $\(\left( X_{t}\right)_{t\in\mathbb{Z}}\)$  est stationnaire},

  • $\(\forall t\in\mathbb{Z}:X_{t}=\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{t-i}+\varepsilon_{t}+\sum_{i=1}^{q}\theta_{i}\varepsilon_{t-i}\)$ où $\(\left(\varphi_{1},\ldots,\varphi_p\right)\in\mathbb{R}^{p}\)$ , $\(\varphi_p\neq 0\)$ , $\(\left(\theta_{1},\ldots,\theta_{q}\right)\in\mathbb{R}^{q}\)$  et $\(\theta_{q}\neq 0\)$ .

Il s'agit ici d'une "synthèse" des processus AR et MA.

Caractérisation

Les autocorrélations simples décroissent vers 0. Il n'existe pas malheureusement de caractérisation simple, on verra comment procéder en pratique plus tard.

Exemple de certificat de réussite
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