Analysez et modélisez des séries temporelles

Le lissage exponentiel double (LED) consiste lui à supposer que $\$\backslash (X\_\{t\}\backslash )\$$  est approximable au voisinage de $\$\backslash (T\backslash )\$$  par une droite : $\$\backslash (a\_\{T\}+\backslash left(\; t-T\backslash right)\; b\_\{T\}\backslash )\$$ .

Les formules de mise à jour sont :

$\$\backslash (\backslash begin\{cases\}\; \backslash widehat\{a\}\_\{T\}=\backslash widehat\{a\}\_\{T-1\}+\backslash widehat\{b\}\_\{T-1\}+\backslash left(\; 1-\backslash alpha^\{2\}\backslash right)\backslash left(\; X\_\{T\}-\backslash widehat\{X\}\_\{T-1\}(1)\backslash right)\backslash \backslash \; \backslash widehat\{b\}\_\{T\}=\backslash widehat\{b\}\_\{T-1\}+\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\; ^\{2\}\backslash left(\; X\_\{T\}-\backslash widehat\{X\}\_\{T-1\}(1)\backslash right)\; \backslash end\{cases\}\backslash )\$$

Le paramètre de la méthode du LED est $\$\backslash (\backslash alpha\backslash in\backslash left]\; 0,1\backslash right[\backslash )\$$  .

La prévision par la méthode du LED est la suivante :

$\$\backslash (\backslash forall\; \backslash ell\backslash in\backslash mathbb\{N\}^\{\backslash ast\}:\backslash widehat\{X\}\_\{T\}(\backslash ell)=\backslash widehat\{a\}\_\{T\}+\backslash ell\backslash ,\; \backslash widehat\{b\}\_\{T\}\backslash \; .\backslash )\$$

La méthode de Holt-Winters, parfois encore utilisée en pratique, consiste à supposer que $\$\backslash (X\_\{t\}\backslash )\$$ est approximable au voisinage de T  par aT+(t−T)bT+ST .
En désignant par s  la période du cycle saisonnier de la série temporelle, les formules de mise à jour sont :

$\$\backslash (\backslash begin\{cases\}\; \backslash widehat\{a\}\_\{T\}=\backslash left(\; 1-\backslash alpha\backslash right)\backslash left(\; X\_\{T\}-\backslash widehat\{S\}\_\{T-s\}\backslash right)\; +\backslash alpha\backslash left(\backslash widehat\{a\}\_\{T-1\}+\backslash widehat\{b\}\_\{T-1\}\backslash right)\backslash \backslash \; \backslash widehat\{b\}\_\{T\}=\backslash left(\; 1-\backslash beta\backslash right)\backslash left(\backslash widehat\{a\}\_\{T\}-\backslash widehat\{a\}\_\{T-1\}\backslash right)\; +\backslash beta\backslash ,\; \backslash widehat\{b\}\_\{T-1\}\backslash \backslash \; \backslash widehat\{S\}\_\{T\}=\backslash left(\; 1-\backslash gamma\backslash right)\backslash left(\; X\_\{T\}-\backslash widehat\{a\}\_\{T\}\backslash right)\; +\backslash gamma\backslash ,\; \backslash widehat\{S\}\_\{T-s\}\; \backslash end\{cases\}\backslash )\$$

Les paramètres de la méthode de Holt-Winters sont α , β  et γ  (tous dans ]0,1[ ).
La prévision par la méthode de Holt-Winters est la suivante :

Quelle que soit la méthode employée, on constate qu'une prévision n'est qu'une fonction du passé de la série (linéaire dans les cas traités dans ce cours). Selon la méthode retenue, cette fonction diffère, mais l'idée est toujours la même !