Le lissage exponentiel double (LED) consiste lui à supposer que Xt est approximable au voisinage de T par une droite : aT+(t−T)bT .
Les formules de mise à jour sont :
{ˆaT=ˆaT−1+ˆbT−1+(1−α2)(XT−ˆXT−1(1))ˆbT=ˆbT−1+(1−α)2(XT−ˆXT−1(1))
Le paramètre de la méthode du LED est α∈]0,1[ .
La prévision par la méthode du LED est la suivante :
∀ℓ∈N∗:ˆXT(ℓ)=ˆaT+ℓˆbT .
La méthode de Holt-Winters, parfois encore utilisée en pratique, consiste à supposer que Xt est approximable au voisinage de T par aT+(t−T)bT+ST .
En désignant par s la période du cycle saisonnier de la série temporelle, les formules de mise à jour sont :
{ˆaT=(1−α)(XT−ˆST−s)+α(ˆaT−1+ˆbT−1)ˆbT=(1−β)(ˆaT−ˆaT−1)+βˆbT−1ˆST=(1−γ)(XT−ˆaT)+γˆST−s
Les paramètres de la méthode de Holt-Winters sont α , β et γ (tous dans ]0,1[ ).
La prévision par la méthode de Holt-Winters est la suivante :
{ˆXT(ℓ)=ˆaT+ℓˆbT+ˆST+ℓ−ssi ℓ∈{1,…,s}ˆXT(ℓ)=ˆaT+ℓˆbT+ˆST+ℓ−2ssi ℓ∈{s+1,…,2s}… .
Quelle que soit la méthode employée, on constate qu'une prévision n'est qu'une fonction du passé de la série (linéaire dans les cas traités dans ce cours). Selon la méthode retenue, cette fonction diffère, mais l'idée est toujours la même !
