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Mis à jour le 20/08/2018

Appréhendez le lissage exponentiel double et la méthode de Holt-Winters

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Le lissage exponentiel double (LED) consiste lui à supposer que $\(X_{t}\)$  est approximable au voisinage de $\(T\)$  par une droite : $\(a_{T}+\left( t-T\right) b_{T}\)$ .

Les formules de mise à jour sont :

$\(\begin{cases} \widehat{a}_{T}=\widehat{a}_{T-1}+\widehat{b}_{T-1}+\left( 1-\alpha^{2}\right)\left( X_{T}-\widehat{X}_{T-1}(1)\right)\\ \widehat{b}_{T}=\widehat{b}_{T-1}+\left( 1-\alpha\right) ^{2}\left( X_{T}-\widehat{X}_{T-1}(1)\right) \end{cases}\)$

Le paramètre de la méthode du LED est $\(\alpha\in\left] 0,1\right[\)$  .

La prévision par la méthode du LED est la suivante :

$\(\forall \ell\in\mathbb{N}^{\ast}:\widehat{X}_{T}(\ell)=\widehat{a}_{T}+\ell\, \widehat{b}_{T}\ .\)$

La méthode de Holt-Winters, parfois encore utilisée en pratique, consiste à supposer que $\(X_{t}\)$ est approximable au voisinage de T  par aT+(t−T)bT+ST .
En désignant par s  la période du cycle saisonnier de la série temporelle, les formules de mise à jour sont :

$\(\begin{cases} \widehat{a}_{T}=\left( 1-\alpha\right)\left( X_{T}-\widehat{S}_{T-s}\right) +\alpha\left(\widehat{a}_{T-1}+\widehat{b}_{T-1}\right)\\ \widehat{b}_{T}=\left( 1-\beta\right)\left(\widehat{a}_{T}-\widehat{a}_{T-1}\right) +\beta\, \widehat{b}_{T-1}\\ \widehat{S}_{T}=\left( 1-\gamma\right)\left( X_{T}-\widehat{a}_{T}\right) +\gamma\, \widehat{S}_{T-s} \end{cases}\)$

Les paramètres de la méthode de Holt-Winters sont α , β  et γ  (tous dans ]0,1[ ).
La prévision par la méthode de Holt-Winters est la suivante :

$\(\begin{cases} \widehat{X}_{T}(\ell)=\widehat{a}_{T}+\ell\, \widehat{b}_{T}+\widehat{S}_{T+\ell-s}&\text{si $\ell\in\left\{1,\ldots,s\right\}$}\\ \widehat{X}_{T}(\ell)=\widehat{a}_{T}+\ell\, \widehat{b}_{T}+\widehat{S}_{T+\ell-2s}&\text{si $\ell\in\left\{s+1,\ldots,2s\right\}$}\\ \ldots \end{cases} \ .\)$

Quelle que soit la méthode employée, on constate qu'une prévision n'est qu'une fonction du passé de la série (linéaire dans les cas traités dans ce cours). Selon la méthode retenue, cette fonction diffère, mais l'idée est toujours la même !

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite